Semana 11 Aulas 2 - Estática de Corpos Rígidos e Alavancas:

Lista de Tópicos:

1. Motivação.
2. Torque de uma força.
3. Novo conceito de equilíbrio.
4. Alavancas.
5. Exemplos com gangorras.
6. Exemplo com ferramenta.
7. Exemplo com desabamento.

Estática de Corpos Rígidos - Motivação

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Ferramentas

Estabilidade de Veículos e Estruturas

Indo além!!!

Se para sistemas com dimensões muito pequenas (pontuais ou equivalentes a pontuais), bastava a soma das forças resultar em ZERO que o corpo estaria parado. O mesmo não pode ser dito de corpos extensos.

Para corpos extensos a soma das forças pode ser zero e ainda sim movimentos internos do sistema podem ser fisicamente relevantes.

Essa constatação tem um apelo prático e imensa aplicação no cotidino. Sobretudo, quando o movimento interno é a rotação de corpos rígidos. Mas antes de chegarmos a rotação, vamos estudar o que ocorre com corpos rígidos em equilíbrio, ou seja estáticos. Pois fora do equilíbrio eles rodariam.

Torque de uma força.

Uso de proporções para equilibrar objetos.

Apesar de máquinas simples, tais como alavancas e varas de pesca serem conhecidas a milênios, só com

Arquimedes,

Essa teoria começou a ganhar os contorno que tem hoje.

O que pensava Arquimedes Partindo do fulcro, só existe equilíbro se a razão entre as massas dos objetos for igual a razão inversa das distâncias desses objetos ao fulcro. Em linguagem matemática: $$\frac{M_1}{M_2}=\frac{b}{a} $$

Aquimedes não conhecia o conceito de força, mas nós conhecemos, essa proporção vale para os Pesos. E se vale para os pesos, valerá para outras forças. Ao explicar o funcionamento da alavanca a parti da proporção das massas, Arquimedes fez exatamente isso, inferiu qual a força a ser aplicada em um ponto, para equilibrar uma carga em outro ponto. O termo usado por Arquimedes pode ser traduzido como esforço.

Um ponto importante que é notado, é que forças (ou esforço na linguagem do Arquimedes) paralelo a alavanca, puxa a alavanca (movimento de translação) e forças perpendiculares fazem a alavanca girar. Isso em linguagem moderna resulta em...

Torque.

Definição formal: $$\vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}$$ Toque de uma força é o produto vetoria entre o vetor posição relativa a um eixo de giro (pivot) e a força aplicada nesta posição. O resultado vetorial do torque está sobre o eixo de giro.

Torque.

Corolário: $$\tau=r\cdot F_{\perp}$$ O módulo do Toque de uma força é o produto entre o comprimento de um braço de giro e a componente da força aplicada perpendicular ao braço de giro.

Comparando os Modelos de Torque e Trabalho para forças contantes:

Quantidade	Torque de uma força $(\vec{\tau})$	Trabalho de uma força $(W)$
Equação Vetorial	$\vec{\tau}=\vec{r}\times \vec{F}$	$W=\vec{l}\cdot \vec{F}$
Equação com Componentes	$\tau=r\;F_\perp$	$W=F_{\parallel}\; l$
Unidades no SI	$N\;m$	$J$

Novo conceito de equilíbrio.

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São duas condições necessárias:

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Primeira condição, é a Primeira Lei de Newton, $$\sum_{i=0}^N\vec{F}_i=0$$

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Condição adicional, $$\sum_{i=0}^N\vec{\tau}_i=0\quad.$$

Alavancas.

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A mais longeva de todas as aplicações dessa ciência são as máquinas simples.

Alavanca de 1ª Classe

Alavanca de 3ª Classe

Alavanca de 2ª Classe

Exemplos com gangorras:

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Gangorra regulável

Questão: Qual o valor do ajuste para equilibrar uma criança de 20kg e um adulto de 80kg. Dados objetivos do fabricante, a gangorra tem 3 m e pesa 10kg?

Dados:

• Comprimento da gangorra: $L = 3\;m$
• Massa da gangorra: $M = 10\;kg$
• Massa do adulto: $m_a = 20\;kg$
• Massa da criança: $m_c = 80\;kg$

Desejamos:

• Ajuste da gangorra : A=?

Solução:

• (Apenas para aquecer) Quando duas crianças de massa semelhante usam a gangorra, a massa da gangorra pouco importa, pois o pivot deve ficar no meio da gangorra, onde também está o CM. Tudo pode ser feito só com o que Arquimedes ensinou.

cr1 ------------------- pivot ------------------- cr2

Solução:

• Ao fazer o ajuste, o pivot não irá mais coincidir com o centro, e por isso a gangorra ajuda a equilibrar o adulto que é bem mais pesado que a criança. Como todas as forças envolvidas são pesos então podemos simplificar as contas e trabalhar diretamente com as massas. Note que há uma normal sobre o pivot, mas ela não realiza torque algum (Por qual motivo?).

ad ---------pivot ----------CM------------------- cr

• O ajuste é a distância entre o pivot e o centro (CM) da gangurra. Usando o pivot como origem (é sempre a melhor estratégia). O ajuste é a distância entre o centro até o pivot, isso também é a distância do CM da gangorra até o pivot, $r_{cm}=A$.

• A distância do adulto Ad1 até o pivot é $r_{ad}=\frac{L}{2}-A$.

• A criança dista do pivot, $r_{cr}=\frac{L}{2}+A$.

• Fazendo como Arquimedes: $(\frac{L}{2}-A)\;m_a=(\frac{L}{2}+A)\;m_c+A\;M$

Algumas contas depois,

$$A=\frac{L}{2}\frac{m_a-m_c}{m_a+m_c+M} $$

• Experimento fazer usando a soma dos torques. Tem de dar o mesmo resultado.

Substituindo os valores,

Resposta:

O ajuste é $\frac{9}{11}\;m$ na direção do adulto. Isso é igual a aproximadamente 82cm.

Exemplos com gangorras.

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Outro tipo de gangorra

Questão: Qual a menor distância a parti da ponta que uma pessoa de 100kg pode se sentar sem que o banco vire? Dados objetibos do fabricante, banco de madeira nobre Teca, 2,5m comprimento e 35kg. Os pés são colocados a 50cm das pontas.

Outro tipo de gangorra

Pensando a Situação: Não existe motivo para acreditar que o CM não esteja no centro do banco, então lá ele estará neste problema. Colocado sobre o chão, esse banco deve apresentar duas forças normais $\vec{N}_1$ e $\vec{N}_2$. Conforme for pressionado por uma força $\vec{F}$ entre a ponta e um dos pés, ele tenderá agirar e uma das normais vai ser aliviada enquanto a outra vai ser sobrecarregada (quem recebe a sobrecarga é o pivot).

Outro tipo de gangorra

Pensando a Situação: Na eminencia de girar (e dar um susto ou derrubar alguém) a normal aliviada vai a zero. Na nossa ilustração seria a $\vec{N}_2$

Outro tipo de gangorra

Solução: Como Arquimedes e usando o pé sobrecarregado (posição de $N_1$) como referência: $$D\;M=d\;m_a$$ $$d=\frac{M}{m_a}\;D$$

Outro tipo de gangorra

Cuidado com a substituição dos dados e outros detalhes: Distância entre CM banco e o pivot : $D = 75\; cm$; Massa do banco : $M = 35\; kg$ Massa da pessoa : $m_a=100\;kg$ Distância entre a pessoa e o pivot : $d=\frac{M}{m_a}\;D=\frac{35\;kg}{100\;kg}\;75\;cm=26.25cm$

Como a distância entre o pivot (pé com sobrecarga) e a borda do branco é 50cm, o local de sentar a partir da borda será: $50\;cm - 26.25\;cm$

Resposta: A distância mínima para se sentar com segurança é de $23.75\;cm$ a partir da ponta.

Exemplos com Alavancas:

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No Jardim:

Um pouco de conceitos: Com base no que vimos até agora qual o melhor lugar para pegar na tesoura de jardim? A força sobre um galho a ser cortado será maior perto do parafuso ou longe dele?

Exemplos com Alavancas:

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Na caixa de ferramentas:

Um pouco mais de conceitos: Excluída a região de corte, qual região do alicate pressina mais intensamente pequenos objetos?

Exemplos com Alavancas:

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No corpo humano:

Qual força que o cotovelo tem de sustentar para equilibrar o livro História sem Fim.?

O cotovelo é o pivot e sabendo o peso do livro $(4.4\;N)$ e as distâncias $(3\;cm\;e\;30\;cm)$ encontramos a força feita pelo bicéps $(44\;N)$, esse ultimo resultado pode ser encontrado facilmente usando a soma dos torques igual zero ou pelo método de Arquimedes.

Usando um sistema de coordenadas com y + para cima.

• O bíceps faz $\vec{F}_{bic}=44\;\hat{y}$;
• O peso do livro é $\vec{P}_{livro}=-4.4\;\hat{y}$;
• A força feita pelo cotovelo, $\vec{F}_{cot}$ vem da 1ª Lei de Newton,

$$\vec{F}_{cot}+\vec{P}+\vec{F}_{bic}=0$$$$\vec{F}_{cot}=(4.4-44)\hat{y}=-39.6\hat{y}$$

Resposta:

O cotovelo suportará uma força de $39.6\;N$ para baixo. (Haja cotovelo!).

Exemplo com desabamento ou capotamento.

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Prédios tortos de Santos:

Se nada for feito em quanto tempo um prédio desses corre risco de desabar?

Primeiro vamos explicar o que ocorre.

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É exatamente o que temos aqui.

Se nada for feito, em quanto tempo um prédio desses corre risco de desabar?

Informações:

• Inclina 1cm por ano.
• Inclinação em 2013: 50cm a altura de 1.80m.
• Prédio 10 andares (aproximadamente), com pé diretio de 3m, base de 12m.

Aqui um desenho ajuda muito.

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Tudo é feito diretamente no triângulo: Supondo tudo homogêneo, o CM estará no meio do prédio (é uma boa aproximação), posição do CM algo como 5 andares x 3m = 15m para um prédio sem inclinação Abertura limite permitida (segmento AZUL no triângulo) é aquela que coloca o CM sobre a beirada da base. Para esse prédio seria 5m.

Tudo é feito diretamente no triângulo: O triângulo limite tem hipotenusa 15m e cateto oposto ao ângulo de abertura igual a 6m. $$\theta_{crítico}=sen^{-1}(6/15)\approx 0.41\;rad\approx 23.6º$$ Pelos DADOS iniciais, a 1.8m, o deslocamento é de 50cm=0.5m; Com isso sabemos que a $$\theta_{2013}=tan^{-1}(0.5/1.8)\approx 0.27\;rad\approx 15.5º$$ Pelos DADOS iniciais, a 1.8m, o deslocamento é de 1cm por ano, ou seja uma velocidade de 1cm/ano medida a altura de 1.80. Uma boa aproximaçã para velocidade angular de abertura é $\omega=0.01(m/ano)/1.8(m)\approx0.0055 rad/ano\approx 0.32º/ano$

Agora entra alguma cinemática: $\theta_f=\theta_i+\omega\;t$ $$t=\frac{23.6-15.5}{0.32}\approx 25 anos$$

Os moradores de qual dos prédios ai, deveriam se preocupar mais? A maior diferença é o número de andares.

Os moradores de qual dos prédios ai, deveriam se preocupar mais? A maior diferença é o tamanho da base do prédio.

Obrigado a todos pela presença!

Continuamos na próxima terça-feira.